حل تمرین صفحه 102 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 102 - تمرین 1 در این تمرین، ما از قوانین اساسی **توان‌ها** استفاده می‌کنیم تا حاصل عبارت‌ها را به صورت یک عدد توان‌دار ساده بنویسیم. ### قوانین کلیدی که استفاده می‌کنیم: * **ضرب با پایه‌های مساوی:** $a^m \times a^n = a^{m+n}$ * **ضرب با توان‌های مساوی:** $a^m \times b^m = (a \times b)^m$ * **توان صفر:** هر عدد غیر صفر به توان صفر برابر با ۱ است: $a^0 = 1$ * **نکته:** برای استفاده از قوانین ضرب، باید مطمئن شویم که یا پایه‌ها مساوی‌اند یا توان‌ها. حالا به حل تمرین‌ها می‌پردازیم: 1. **$2^4 \times 2^2 = 2^{4+2} = 2^6$** * (پایه‌های مساوی (۲)، توان‌ها جمع می‌شوند.) 2. **$(-\frac{2}{3})^2 \times (-\frac{2}{3})^5 = (-\frac{2}{3})^{2+5} = (-\frac{2}{3})^7$** * (پایه‌های مساوی ($-\frac{2}{3}$)، توان‌ها جمع می‌شوند.) 3. **$8^3 \times 2^3 = (8 \times 2)^3 = 16^3$** * (توان‌های مساوی (۳)، پایه‌ها در هم ضرب می‌شوند.) 4. **$(-6)^4 \times (-\frac{1}{2})^4 = ((-6) \times (-\frac{1}{2}))^4 = (3)^4 = 3^4$** * (توان‌های مساوی (۴)، پایه‌ها در هم ضرب می‌شوند. $(-6) \times (-\frac{1}{2}) = \frac{6}{2} = 3$) 5. **$2^5 \times 3^2 \times 6^5 \times 2^2 = (2^5 \times 6^5) \times (3^2 \times 2^2) = (2 \times 6)^5 \times (3 \times 2)^2 = 12^5 \times 6^2$** * (این عبارت را به گونه‌ای ساده می‌کنیم که تا جای ممکن به صورت توان‌دار نوشته شود. **روش بهتر (تجزیه به عوامل اول):**) * $2^5 \times 3^2 \times (2 \times 3)^5 \times 2^2 = 2^5 \times 3^2 \times 2^5 \times 3^5 \times 2^2$ * **ضرب پایه‌های ۲:** $2^{5+5+2} = 2^{12}$ * **ضرب پایه‌های ۳:** $3^{2+5} = 3^7$ * **پاسخ نهایی:** $2^{12} \times 3^7$ (نمی‌توان آن را به یک عدد توان‌دار با یک پایه تبدیل کرد مگر اینکه منظور سوال تبدیل به پایه ۶ باشد که در این صورت باید به صورت $6^7 \times 2^5$ نوشته شود). 6. **$3 \times (\frac{3}{5})^0 \times 81 = 3^1 \times 1 \times 3^4 = 3^{1+4} = 3^5$** * (هر عدد به توان صفر برابر ۱ است: $(\frac{3}{5})^0 = 1$) * (عدد ۸۱ را به صورت توان‌دار می‌نویسیم: $81 = 3^4$) * (پایه‌های مساوی (۳)، توان‌ها جمع می‌شوند.) 7. **$36 \times 144 = 6^2 \times 12^2 = (6 \times 12)^2 = 72^2$** * (عددها را به صورت توان‌های مساوی می‌نویسیم: $36 = 6^2$ و $144 = 12^2$) * (توان‌های مساوی (۲)، پایه‌ها در هم ضرب می‌شوند. **روش جایگزین (پایه ۶):** $36 \times 144 = 6^2 \times (6 \times 2)^2 = 6^2 \times 6^2 \times 2^2 = 6^4 \times 2^2$) * (اگر بخواهیم به صورت یک عدد توان‌دار بنویسیم، $72^2$ بهترین گزینه است.) 8. **$2^3 \times 8^5 \times 2^2 = 2^3 \times (2^3)^5 \times 2^2$** * (عدد ۸ را به صورت توان‌دار از پایه ۲ می‌نویسیم: $8 = 2^3$) * **قانون توان توان:** $(2^3)^5 = 2^{3 \times 5} = 2^{15}$ * $2^3 \times 2^{15} \times 2^2 = 2^{3+15+2} = 2^{20}$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 102 - تمرین 2 هدف از این تمرین، استفاده از **خواص ضرب و تقسیم عبارت‌های توان‌دار** است. یادت باشد که: * **ضرب با پایه‌های مساوی:** پایه‌ها را نگه می‌داریم و توان‌ها را جمع می‌کنیم: $a^m \times a^n = a^{m+n}$ * **ضرب با توان‌های مساوی:** پایه‌ها را در هم ضرب می‌کنیم و توان را نگه می‌داریم: $a^m \times b^m = (a \times b)^m$ * **توان توان:** توان‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: $(a^m)^n = a^{m \times n}$ حالا با هم به سراغ حل تمرین‌ها می‌رویم: 1. **$a^2 \times a^8 = a^{2+8} = a^{10}$** * (پایه‌های مساوی، توان‌ها جمع می‌شوند) 2. **$x^4 y^2 = x^4 y^2$** * (پایه‌ها و توان‌ها متفاوت هستند و ساده نمی‌شود. در برخی منابع ممکن است به صورت ضرب دو عبارت متفاوت نگه داشته شود. در صورتی که منظور ضرب دو عبارت بود، احتمالاً سوال به این صورت بوده است: $x^4 \times x^2 = x^6$ یا $x^4 \times y^4 = (xy)^4$. اما طبق متن موجود، چون پایه‌ها متفاوت هستند، ساده‌سازی بیشتر امکان‌پذیر نیست.) 3. **$(ab)^5 \times a^2 b^2 = a^5 b^5 \times a^2 b^2 = a^{5+2} b^{5+2} = a^7 b^7 = (ab)^7$** * (ابتدا $(ab)^5$ را باز می‌کنیم، سپس پایه‌های مساوی ($a$ و $b$) را جداگانه با هم ضرب می‌کنیم.) 4. **$(xy)^2 \times (xy)^7 = (xy)^{2+7} = (xy)^9$** * (پایه‌های مساوی $((xy))$، توان‌ها جمع می‌شوند.) 5. **$125 \times 18^3 \times (\frac{1}{9})^3 = 5^3 \times (18 \times \frac{1}{9})^3 = 5^3 \times (\frac{18}{9})^3 = 5^3 \times 2^3 = (5 \times 2)^3 = 10^3$** * (عدد ۱۲۵ را به صورت توان‌دار می‌نویسیم: $125 = 5^3$) * (از خاصیت ضرب با توان‌های مساوی استفاده می‌کنیم و $18^3 \times (\frac{1}{9})^3 = (18 \times \frac{1}{9})^3$ را محاسبه می‌کنیم.) 6. **$8a \times (2a)^3 \times 2a^2 = 8a^1 \times (2^3 a^3) \times 2a^2 = 8a^1 \times 8a^3 \times 2a^2$** * (ابتدا $(2a)^3$ را باز می‌کنیم: $2^3 a^3 = 8a^3$) * (حالا ضرایب عددی را در هم ضرب می‌کنیم: $8 \times 8 \times 2 = 128$) * (سپس قسمت‌های متغیر ($a$) را در هم ضرب می‌کنیم - پایه‌های مساوی، توان‌ها جمع): $a^1 \times a^3 \times a^2 = a^{1+3+2} = a^6$ * **$8a \times (2a)^3 \times 2a^2 = 128a^6$**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 102 - سوال 3 سلام دانش‌آموز عزیز! برای حل این سوال، باید از فرمول **حجم مکعب** استفاده کنیم و ببینیم وقتی طول ضلع دو برابر می‌شود، حجم چند برابر خواهد شد. ### گام اول: محاسبه حجم مکعب اول فرض کنید مکعب اول (مکعب کوچکتر) دارای ضلع $a$ باشد. حجم مکعب از فرمول $V = \text{ضلع} \times \text{ضلع} \times \text{ضلع} = \text{ضلع}^3$ به دست می‌آید. حجم مکعب کوچک ($V_1$): $$V_1 = a \times a \times a = a^3$$ ### گام دوم: محاسبه حجم مکعب دوم مکعب دوم (مکعب بزرگتر) دارای ضلع $2a$ است. حجم آن ($V_2$) را محاسبه می‌کنیم: حجم مکعب بزرگ ($V_2$): $$V_2 = (2a) \times (2a) \times (2a)$$ طبق خاصیت توان‌رسانی، توان بر روی هر دو عامل داخل پرانتز اثر می‌کند: $$V_2 = 2^3 \times a^3$$ $$V_2 = 8a^3$$ ### گام سوم: مقایسه حجم‌ها حالا باید ببینیم حجم مکعب بزرگ ($V_2$) چند برابر حجم مکعب کوچک ($V_1$) است. برای این کار، نسبت $V_2$ به $V_1$ را محاسبه می‌کنیم: $$\frac{V_2}{V_1} = \frac{8a^3}{a^3}$$ عبارت $a^3$ از صورت و مخرج کسر ساده می‌شود: $$\frac{V_2}{V_1} = 8$$ **نتیجه:** حجم مکعبی به ضلع $2a$، **۸ برابر** حجم مکعبی به ضلع $a$ است. **نکته مهم:** در مبحث **توان**، وقتی یک بعد خطی (مثل طول ضلع) $n$ برابر می‌شود، حجم آن شکل هندسی $n^3$ برابر می‌شود. در اینجا $n=2$ بود، پس حجم $2^3 = 8$ برابر شد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 102 - سوال 4 در این تمرین، هدف این است که با استفاده از **قوانین توان‌ها**، جاهای خالی را پر کنیم. بیایید هر کدام را گام به گام حل کنیم: 1. **$18^5 = (6 \times \text{$\bigcirc$})^5$** * طبق قانون توان‌های مساوی، $18^5 = (6 \times 3)^5$. * **$18^5 = (6 \times 3)^5$** * **جواب جای خالی: $3$** 2. **$a^8 = a^3 \times a^{\text{$\bigcirc$}}$** * این از قانون ضرب با پایه‌های مساوی ($a^m \times a^n = a^{m+n}$) پیروی می‌کند. * پس، باید $3 + \text{جای خالی} = 8$ باشد. * **$a^8 = a^3 \times a^5$** * **جواب جای خالی: $5$** 3. **$7^{\text{$\bigcirc$}} \times 4^5 = 4^5$** * برای اینکه حاصل ضرب یک عبارت در عبارتی دیگر، برابر خود همان عبارت (اینجا $4^5$) شود، عبارت اول باید برابر **یک** باشد. * طبق قانون توان صفر، هر عدد غیر صفر به توان صفر برابر ۱ است. پس $7^{\text{جای خالی}} = 1$. * **$7^0 \times 4^5 = 4^5$** * **جواب جای خالی: $0$** 4. **$(-\frac{7}{2})^2 \times (-\frac{7}{2})^{\text{$\bigcirc$}} = (-\frac{7}{2})^9$** * این از قانون ضرب با پایه‌های مساوی پیروی می‌کند. توان‌ها باید با هم جمع شوند: $2 + \text{جای خالی} = 9$. * $2 + 7 = 9$ * **$(-\frac{7}{2})^2 \times (-\frac{7}{2})^7 = (-\frac{7}{2})^9$** * **جواب جای خالی: $7$** 5. **$(4 \times 3)^6 = 4^{\text{$\bigcirc$}} \times 3^{\text{$\bigcirc$}}$** * این از قانون ضرب با توان‌های مساوی پیروی می‌کند، که به صورت برعکس نوشته شده است: $(a \times b)^n = a^n \times b^n$. * **$(4 \times 3)^6 = 4^6 \times 3^6$** * **جواب هر دو جای خالی: $6$**